Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C , которую измеряют в фарадах (Ф).
Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q 0 , а на другой - заряд -Q 0 . При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией
где - амплитудное (максимальное) напряжение или разность потенциалов на обкладках конденсатора.
После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора
(где - заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции
 |
 |
| Рис.1 | Рис.2 |
Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна
Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q 0 , но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис. 5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении.
Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят электромагнитные колебания . Этот процесс связан не только с колебаниями величины заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в катушке, но и перекачкой энергии из электрического поля в магнитное и обратно.
 |
 |
| Рис.3 | Рис.4 |
Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным.
В реальных контурах имеют место следующие потери энергии:
1) тепловые потери, т.к. R ¹ 0;
2) потери в диэлектрике конденсатора;
3) гистерезисные потери в сердечнике катушке;
4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.
Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными , или собственными , колебаниями контура.
В этом случае напряжение U (и заряд Q ) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:
где n - собственная частота колебательного контура, w 0 = 2pn - собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как
Период T - время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется формулой Томсона
Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид
. (9)
На рис.6 представлены графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного контура.
В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.
 |
 |
| Рис.5 | Рис.6 |
Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.
При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .
В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.
На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.
Полная энергия колебательного контура
\(W=W_{e} + W_{m}, \; \; \; W_{e} =\dfrac{C\cdot u^{2} }{2} = \dfrac{q^{2} }{2C}, \; \; \; W_{m} =\dfrac{L\cdot i^{2}}{2},\)
Где W e - энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С - электроемкость конденсатора, u - значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q - значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m - энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L - индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.
Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.
Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.
После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.
Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).
Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.
И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см. рис. 2, положение 7 ). И так далее.
Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u ) определяет его энергию электрического поля W e \(\left(W_{e}=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{C \cdot u^{2}}{2} \right),\) а сила тока в катушке i - энергию магнитного поля Wm \(\left(W_{m}=\dfrac{L \cdot i^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.
Обозначения в таблице:
\(W_{e\, \max } =\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot U_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 2} =\dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 4} =\dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 6} =\dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{6}^{2} }{2},\)
\(W_{m\; \max } =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m2} =\dfrac{L\cdot i_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m4} =\dfrac{L\cdot i_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m6} =\dfrac{L\cdot i_{6}^{2} }{2}.\)
Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда
\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = ...\)
Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .
Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.
Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:
\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)
Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.
Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:
\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)
Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному - с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.
Поскольку полная энергия идеального LC -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство
\(W=\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} ={\rm const}.\)
Получим уравнение колебаний в LC -контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что
\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)
получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:
\(\left(\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} \right)^{{"} } =\dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)
\(\dfrac{q}{C} +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac{1}{L\cdot C} \cdot q=0.\)
Переписав его в виде:
\(q""+\omega ^{2} \cdot q=0,\)
замечаем, что это - уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)
Соответственно период рассматриваемых колебаний
\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)
Колебательный контур
электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор, в которой могут возбуждаться электрические колебания. Если в некоторый момент времени зарядить конденсатор до напряжения V 0 , то энергия, сосредоточенная в электрическом поле конденсатора, равна Е с
= ,
где С - ёмкость конденсатора. При разрядке конденсатора в катушке потечёт ток I
, который будет возрастать до тех пор, пока конденсатор полностью не разрядится. В этот момент электрическая энергия К. к. E c = 0, а магнитная, сосредоточенная в катушке, E L =L - индуктивность катушки, I 0 - максимальное значение тока. Затем ток в катушке начинает падать, а напряжение на конденсаторе возрастать по абсолютной величине, но с противоположным знаком. Спустя некоторое время ток через индуктивность прекратится, а конденсатор зарядится до напряжения - V 0 . Энергия К. к. вновь сосредоточится в заряженном конденсаторе. Далее процесс повторяется, но с противоположным направлением тока. Напряжение на обкладках конденсатора меняется по закону V =
V 0 cos ω 0 t, а
ток в катушке индуктивности I = I 0
sin ω 0 t
, т. е. в К. к. возбуждаются собственные гармонические колебания напряжения и тока с частотой ω 0 = 2 π/T 0 , где T 0
- период собственных колебаний, равный T 0
= 2π В реальных К. к., однако, часть энергии теряется. Она тратится на нагрев проводов катушки, обладающих активным сопротивлением, на излучение электромагнитных волн в окружающее пространство и потери в диэлектриках (см.
Диэлектрические потери),
что приводит к затуханию колебаний. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, так что напряжение на обкладках конденсатора меняется уже по закону: V=V 0 e -δt cosωt,
где коэффициент δ = R/2L -
показатель (коэффициент) затухания, а ω =
- частота затухающих колебаний. Т. о., потери приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их периода Т = 2
π/ω. Качество К. к. обычно характеризуют его добротностью Q определяет число колебаний, которое совершит К. к. после однократной зарядки его конденсатора, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е
раз (е
- основание натуральных логарифмов). Если включить в К. к. генератор с переменной эдс: U = U 0
cosΩt
(), то в К. к. возникнет сложное колебание, являющееся суммой его собственных колебаний с частотой ω 0 и вынужденных с частотой Ω. Через некоторое время после включения генератора собственные колебания в контуре затухнут и останутся только вынужденные. Амплитуда этих стационарных вынужденных колебаний определяется соотношением Т. е. зависит не только от амплитуды внешней эдс U 0 ,
но и от её частоты Ω. Зависимость амплитуды колебаний в К. к. от частоты внешней эдс называется резонансной характеристикой контура. Резкое увеличение амплитуды имеет место при значениях Ω, близких к собственной частоте ω 0 К. к. При Ω =
ω 0
амплитуда колебаний V makc в Q раз превышает амплитуду внешней эдс U.
Т. к. обычно 10 Q 100, то К. к. позволяет выделить из множества колебаний те, частоты которых близки к ω 0 . Именно это свойство (избирательность) К. к. используется на практике. Область (полоса) частот ΔΩ вблизи ω 0 , в пределах которой амплитуда колебаний в К. к. меняется мало, зависит от его добротности Q. Численно Q равно отношению частоты ω 0 собственных колебаний к ширине полосы частот ΔΩ. Для повышения избирательности К. к. необходимо увеличивать Q. Однако рост добротности сопровождается увеличением времени установления колебаний в К. к. Изменения амплитуды колебаний в контуре с высокой добротностью не успевают следовать за быстрыми изменениями амплитуды внешней эдс. Требование высокой избирательности К. к. противоречит требованию передачи быстро изменяющихся сигналов. Поэтому, например, в усилителях телевизионных сигналов искусственно снижают добротность К. к. Часто используются схемы с двумя или несколькими связанными между собой К. к. Такие системы при правильно подобранных связях обладают почти прямоугольной резонансной кривой (пунктир). Кроме описанных линейных К. к. с постоянными L
и С, применяются нелинейные К. к., параметры которых L
или С зависят от амплитуды колебаний. Например, если в катушку индуктивности К. к. вставлен железный сердечник, то намагниченность железа, а с ним и индуктивность L
катушки меняется с изменением тока, текущего через неё. Период колебания в таком К. к. зависит от амплитуды, поэтому резонансная кривая приобретает наклон, а при больших амплитудах становится неоднозначной (). В последнем случае имеют место скачки амплитуды при плавном изменении частоты Ω внешней эдс. Нелинейные эффекты проявляются тем сильнее, чем меньше потери в К. к. В К. к. с низкой добротностью нелинейность вообще не сказывается на характере резонансной кривой. Лит.:
Стрелков С. П.. Введение в теорию колебаний, М. - Л., 1951. В. Н. Парыгин.
Рис. 2. Колебательный контур с источником переменной эдс U
=U
0 cos Ωt. Рис. 3. Резонансная кривая колебательного контура: ω 0 - частота собственных колебаний; Ω - частота вынужденных колебаний; ΔΩ - полоса частот вблизи ω 0 , на границах которой амплитуда колебаний V
= 0,7 V
makc . Пунктир - резонансная кривая двух связанных контуров. Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
1969-1978
.
Сегодня нас интересует простейший колебательный контур , его принцип работы и применение.
За полезной информацией по другим темам переходите на наш телеграм-канал .
Колебания – процесс, повторяющийся во времени, характеризуется изменением параметров системы около точки равновесия.
Первое, что приходит на ум - это механические колебания математического или пружинного маятников. Но ведь колебания бывают и электромагнитными.
По определению колебательный контур (или – это электрическая цепь, в которой происходят свободные электромагнитные колебания.
Такой контур представляет собой электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C . Соединены эти два элемента могут быть лишь двумя способами - последовательно и параллельно. Покажем на рисунке ниже изображение и схему простейшего колебательного контура.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .
Давайте рассмотрим пример, когда сначала мы заряжаем конденсатор и замыкаем цепь. После этого в цепи начинает течь синусоидальный электрический ток. Конденсатор разряжается через катушку. В катушке при протекании через нее тока возникает ЭДС самоиндукции , направленная в сторону, противоположную току конденсатора.
Разрядившись окончательно, конденсатор благодаря энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальна, начнет заряжаться вновь, но только в обратной полярности.
Колебания, которые происходят в контуре – свободные затухающие колебания. То есть без дополнительной подачи энергии колебания в любом реальном колебательном контуре рано или поздно прекратятся, как и любые колебания в природе.
Это обусловлено тем, что контур состоит из реальных материалов (конденсатор, катушка, провода), обладающих таким свойством, как электрическое сопротивление, и потери энергии в реальном колебательном контуре неизбежны. В противном случае это нехитрое устройство могло бы стать вечным двигателем , существование которого, как известно, невозможно.
Еще одна важная характеристика – добротность Q . Добротность определяет амплитуду резонанса и показывает, во сколько раз запасы энергии в контуре превышают потери энергии за один период колебаний. Чем выше добротность системы, тем медленнее будут затухать колебания.
Электромагнитные колебания в происходят с определенной частотой, которая называется резонансной Подробнее про – в нашей отдельной статье. Частоту колебаний можно менять, варьируя такие параметры контура, как емкость конденсатора C , индуктивность катушки L , сопротивление резистора R (для LCR-контура ).
Колебательный контур широко применяется на практике. На его основе строятся частотные фильтры, без него не обходится ни один радиоприемник или генератор сигналов определенной частоты.
Если вы не знаете, как подступиться к расчету LC-контура или на это совершенно нет времени, обратитесь в профессиональный студенческий сервис . Качественная и быстрая помощь в решении любых задач не заставит себя ждать!
Практический расчет последовательного или параллельного LC контура.
Доброго дня уважаемые радиолюбители!
Сегодня мы с вами рассмотрим порядок расчета LC контура
.
Некоторые из вас могут спросить, а на черта нам это нужно? Ну, во-первых, лишние знания никогда не помешают, а во-вторых, бывают в жизни моменты, когда вам знание этих расчетов может понадобиться. К примеру, очень многие начинающие радиолюбители (естественно, в основном молодые), увлекаются сборкой так называемых “жучков” – устройств позволяющих на расстоянии прослушивать что-нибудь. Конечно я уверен, что это делается без всяких нехороших (даже грязных) мыслей подслушать кого-нибудь, а в благих целях. Например устанавливают “жучок” в комнате с малышом, а на радиовещательный приемник прослушивают не проснулся ли он. Все схемы “радиожучков” работают на определенной частоте, но что делать, когда эта частота вас не устраивает. Вот тут вам придет на помощь знание нижеприведенной статьи.
LC колебательные контура применяются практически в любой аппаратуре, работающей на радиочастотах. Как известно из курса физики, колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора (емкости), которые могут быть включены параллельно (параллельный контур ) или последовательно (последовательный контур ), как на рис.1:
Реактивные сопротивления индуктивности и емкости, как известно, зависят от частоты переменного тока. При увеличении частоты реактивное сопротивление индуктивности растет, а емкости – падает. При уменьшении частоты, наоборот, индуктивное сопротивление падает, а емкостное – растет. Таким образом, для каждого контура есть некоторая частота резонанса, на которой индуктивное и емкостное сопротивления оказываются равными. В момент резонанса резко увеличивается амплитуда переменного напряжения на параллельном контуре или резко увеличивается амплитуда тока на последовательном контуре. На рис.2 показан график зависимости напряжения на параллельном контуре или тока на последовательном контуре от частоты:
На частоте резонанса эти величины имеют максимальное значение. А полоса пропускания контура определяется на уровне 0,7 от максимальной амплитуды, которая есть на частоте резонанса.
Теперь перейдем к практике. Предположим нам нужно сделать параллельный контур, имеющий резонанс на частоте 1 МГц. Прежде всего нужно сделать предварительный расчет такого контура. То есть, определить необходимую емкость конденсатора и индуктивность катушки. Для предварительного расчета есть упрощенная формула:
L=(159,1/F) 2 /C
где:
L
– индуктивность катушки в мкГн;
С
– емкость конденсатора в пФ;
F
– частота в МГц
Зададимся частотой 1 МГц и емкостью, к примеру, 1000 пФ. Получим:
L=(159,1/1) 2 /1000 = 25 мкГн
Таким образом, если мы захотим контур на частоту 1 МГц, то нужен конденсатор на 1000 пФ и индуктивность на 25 мкГн. Конденсатор можно подобрать, а вот индуктивность нужно сделать самостоятельно.
N=32 *√(L/D)
где:
N
– требуемое число витков;
L
– заданная индуктивность в мкГн;
D
– диаметр каркаса в мм, на котором предполагается намотать катушку.
Предположим, диаметр каркаса – 5 мм, тогда:
N=32*√(25/5) = 72 витка.
Данная формула является приближенной, она не учитывает собственную межвитковую емкость катушки. Формула служит для предварительного вычисления параметров катушки, которые затем настраиваются при настройке контура.
В радиолюбительской практике чаще используются катушки с подстроечными сердечниками из феррита, имеющими длину 12-14 мм и диаметр 2,5 – 3 мм. Такие сердечники, например, применяются в контурах телевизоров и приемников. Для предварительного расчета числа витков для такого сердечника есть другая приближенная формула:
N=8,5*√L , подставляем значения для нашего контура N=8,5*√25 = 43 витка . То есть, в таком случае на потребуется намотать на катушку 43 витка провода.
