За тысячи лет своего существования от простейших представлений о числе и фигуре математики пришла к образованию многих новых понятий и методов. Она превратилась в мощное средство изучения природы и гибкое орудие практики. XX век принес математике новые идеи, теории, расширилась сфера её применения. Математика занимает особое положение в системе наук - её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Но она ввела те основные понятия, которые используются в них. Таким понятием является понятие «множество», которое впервые возникло в математике и в настоящее время является общенаучным.
Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.
В конце 19 века Георг Кантор, немецкий математик, основоположник теории множеств, дал интуитивное определение понятию «множеству» так: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое» . Такое определение множества потребовало введения трех символов .
Первый из них должен представлять множество как нечто «единое», т.е. являться представителем самого множества. В качестве такого символа принято применять любую прописную букву какого-либо алфавита: например, обозначать множества прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению.
Второй символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z.
Третий символ должен однозначно соотнести элемент множеству. В качестве соответствующего символа определен знак , который происходит от первой буквы греческого слова (быть). Запись определяет отношение: х есть элемент Х. Для того чтобы указать, что х не есть элемент Х, пишут .
Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории - так называемым парадоксам.
Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер
(элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х - множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То есть или ? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что , сразу приходим к противоречию: , и обратно.
В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .
На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств:
Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).
Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем.
Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики.
Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В.
Для пояснения данной аксиомы нам необходимо использовать термин «подмножество»: Если каждый элемент множества A является элементом множества Z, то говорят, что А - подмножество Z, и пишут . Символ именуется «включение». Если не исключается возможность ситуации, когда Z=A, то для того чтобы акцентировать на этом внимание, пишут .
Введя термин «подмножество», сформулируем аксиому 1 в символьном виде: .
Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.
Данная аксиома используется при пояснении декартова произведения множеств, где первоначальным понятием является «упорядоченная пара». Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, каждый из которых занимает в записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b).
Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит.
В символьном виде аксиому Z3 можно записать так: . На основании данной аксиомы и вытекающих из неё теорем указываются свойства операций множеств, описание которых будут изложены в пункте 3. Аксиомы Z1 и Z2 позволяют нам ввести понятие операции объединения, пересечения, дополнение, разности множеств.
Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).
Аксиома бесконечности (Z6). Существует, по крайней мере, одно бесконечное множество - натуральный ряд чисел.
Аксиома выбора (Z7) . Для всякого семейства непустых множеств существует функция, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества. Функция называется функцией выбора для заданного семейства.
Стоит отметить важность соответствующих аксиом, так как множества и отношения между ними являются предметом изучения любой математической дисциплины.
Укажем ещё одно важное открытие в теории множеств - изображение отношений между подмножествами, для наглядного представления . Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано. Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна, а в некоторых книгах их называют также диаграммами Эйлера-Венна . Диаграммы Эйлера-Венна используются не только в математике и логике, но и в менеджменте и других прикладных направлениях.
Итак, под множествами понимается совокупность любых объектов, мыслимая как единое целое. Множества могут состоять их объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложение к самым разнообразным областям знания (математике, физике, экономике, лингвистике и т. д.).
Считают, что множество определяется своими элементами, то есть множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Различают два способа задания множеств.
Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}.
Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел - бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}.
Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.
Например, В={1,2,3}. Нетрудно заметить, что каждый элемент множества В - натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по - другому: или , и т.д.
При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .
Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества , т.е. множества, элементами которого являются числа . Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:
N = {1, 2, 3, 4, …} - множество натуральных чисел;
Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} - множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);
Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} - множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);
J - множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей, например: 1,23456342 …;, и др.)
R = (-∞; +∞) - множество действительных чисел.
Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)
Cтоит отметить, что все любые числовые множества можно задать с помощью числового промежутка. (Рис. 2)
Типы числовых промежутков
Множество С, рассмотренное выше, это числовое множество и его можно указать с помощью числового промежутка (Рис. 3)
Рисунок 3 - Числовой промежуток
Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.
В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым
. Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2
Стоит отметить, когда речь идет о двух и более множествах, то между ними могут быть какие-либо отношения или нет. Если множества находятся в каких-либо отношениях, то речь идет или об отношении равенства или отношении включении .
Множество А включается во множество В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначается данное отношение так: A⊂B. Или, по-другому говорят, что множество А является подмножеством множества В.
Множества А и В называются равными , тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В и вместе с этим каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначается данное отношение так: А=В
Например:
1) A={a,b,c,d} и B={b,d}, эти множества находятся в отношении включения B⊂A, т.к. каждый элемент множества В принадлежит множеству А.
2) M={x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)
Рисунок 4 - Числовой промежуток
3) A={x|x∈N∧x:2}={2,4,6,8,10,...} и B={x|x∈N∧x:3}={3,6,9,12,...}, эти два множества не находятся ни в каких отношениях A⊄B, так как во множестве А есть элемент 2, не принадлежащий множеству В
и B⊄A, т.к. во множестве В есть элемент 3, не принадлежащий множеству А.
Следовательно, данные множества не находятся ни в каких отношениях.
Опр.1. Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).
A∪B={x|x∈A∨x∈B}
Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.
А\ В ={x∈A∧x∉B}
Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.
Выражения с множествами
Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С.
Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.
Порядок выполнения операций
если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.
Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)" .
Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.
Круги Эйлера
Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником
Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)"∩С.
Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)"∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения
Свойства операции над множествами (рис.5)
Свойства I - 8 и 1 0 - 8 0 связаны между собой гак называемым принципом двойственности:
если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств.
Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:
1) пересечение любых двух подмножеств пусто;
2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х.
Разбиение множества на классы называют классификацией.
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А×В={(x,y)|x∈A˄y∈B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В — числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.
Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются, то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются, то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В).
Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) . n (В).
Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств в комбинаторике носит название прави-ла суммы, если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у — m способами, причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно осуществить k + m способами.
Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y - m способами, то пару (х,y) можно выбрать km способами.
Асеев Г.Г. Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: «Феникс», Харьков: «Торсинг», 2003, -144с.
Виленкин Н. Я. Алгебра. Учебное пособие для IX - X классов средних школ с математической специализацией, 1968
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М.: Изд-во «Наука». - 1965. - 128с
Диаграммы Эйлера - Венна.URL:http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html
Киреенко С.Г., Гриншпон И. Э. Элементы теории множеств (учебное пособие). - Томск, 2003. - 42 с.
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: Мир, 1970, - 416с.
Введение
Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.
§1. Система аксиом
Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом , , а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном , Бернайсом и Гёделем . (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву
и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса и Гёделя , мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латинские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак понимается как символ отношения принадлежности.Следующим образом определим равенство:
Определение. Х=Y служит сокращением для формулы
.Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Определение.
служит сокращением для формулы (включение).Определение. X
Y служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (собственное включение).Из этих определений легко следует
Предложение 1.
Х = Y (X Y & Y X); Х = Х; Х = Y Y = Х; Х = Y (Y = Z Х = Z); Х = Y (ZX ZY).Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)
Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.
Определение. M(X) служит сокращением для
Y(XY) (X есть множество).Определение. Pr(X) служит сокращением для
M(X) (X есть собственный класс).В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.
Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ).
Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами,
x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)П р и м е р. Выражение
ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокращением для ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ направление в математической логике, занимающееся изучением аксиоматическим методом объектов теории множеств.
Под аксиоматической теорией множеств также понимается любая конкретная система, формализующая теорию множеств. Аксиоматическая теория множеств возникла в начале 20 века в Европе в связи с парадоксами теории множеств, показавшими, что наивная теория множеств приводит к противоречиям. Устранение парадоксов оказалось возможным только на пути аксиоматического ограничения принципа, состоящего в том, что всякое свойство определяет множество всех объектов, обладающих этим свойством. Различные ограничения приводят к различным вариантам аксиоматической теории множеств.
Первая и наиболее известная из аксиоматических теорий множеств — теория Цермело—Френкеля, определяющая построение множеств шаг за шагом, т. е. на каждом конечном или трансфинитном шаге рассматриваются только те множества, все элементы которых уже построены на предшествующих шагах. Понятие трансфинитного шага также находит в этой теории строгое определение. Эта теория формулируется в Є-языке, то есть в языке с единственным исходным неопределяемым символом Є принадлежности: хЄХ понимается как «х есть элемент множества Х». Множество Y называется подмножеством множества Х, если каждый элемент множества Υ принадлежит и множеству Х (обозначается YЄХ).
Ключевыми в теории Цермело-Френкеля (теории ZF) являются следующие аксиомы.
1) Аксиома экстенсиональности (объёмности), утверждающая, что любые два множества, содержащие одни и те же элементы, равны друг другу.
2) Аксиома выделения, утверждающая, что совокупность всех элементов данного множества, удовлетворяющих определённому свойству, является множеством.
3) Аксиома бесконечности, утверждающая существование бесконечного множества определённого вида, именно, непустого множества Х такого, что хЄХ=>{х}ЄХ, где {х} - множество, единственным элементом которого является х.
4) Аксиома степени, утверждающая, что совокупность Р(Х) всех подмножеств данного множества является множеством.
5) Аксиома подстановки, утверждающая, что если для каждого элемента х данного множества Х каким-то образом задано множество f(х), то совокупность {f(х):хЄХ} всех так определённых множеств f(х) является множеством.
6) Аксиома регулярности, утверждающая, что каждое непустое множество Х содержит Є-минимальный элемент х, т. е. х не содержит элементов множества Х.
К этой системе может присоединяться аксиома выбора АС, утверждающая, что для любого множества Х, состоящего из непустых попарно не имеющих общих элементов множеств х, существует множество Υ, имеющее ровно один общий элемент с каждым хЄХ. Расширенная таким образом система обозначается ZFC.
Аксиомы 1-4 и аксиома выбора были введены Э. Цермело в 1908 году; вместе с некоторыми аксиомами технического характера они образуют аксиоматическую теорию множеств Цермело Z или ZC (соответственно, в отсутствии или присутствии аксиомы выбора). Аксиома 5 была введена А. Френкелем и норвежским математиком Т. Сколемом в 1922 году, аксиома 6 - Дж. фон Нейманом в 1923.
К теориям Z и ZF примыкают теория типов, соответствующая первым ω + ω шагам описанной выше схемы трансфинитного построения множеств, где ω первое трансфинитное число (равное порядковому типу множества всех натуральных чисел), и теория классов фон Неймана - Бернайса - Гёделя NBG, в которой вместе с множествами разрешается рассматривать и классы, т. е. совокупности множеств, которые сами не являются множествами (например, класс всех множеств); формально классы отличаются от множеств тем, что они не являются элементами других классов (и множеств). На совершенно иной идее построена аксиоматическая теория множеств Куайна NF, в которой требуется, чтобы все переменные формулы, выражающей рассматриваемое свойство, могли быть индексированы так, что индекс у был ровно на единицу больше индекса х всякий раз, когда выражение хЄу встречается в этой формуле.
Развитие аксиоматической теории множеств показало, что объекты содержательной математики могут рассматриваться как множества, соответственно каждое утверждение содержательной математики может быть сформулировано как утверждение о множествах, и, наконец, каждое математически корректное доказательство может быть формализовано как доказательство в теории ZFC (в большинстве случаев достаточной является теория ZC). В этом смысле аксиоматическая теория множеств ZFC является аксиоматическим базисом современной математики.
Аксиоматическая теория множеств позволила доказать формальную неразрешимость, т. е. невозможность получить ответ «да» или «нет» на поставленный вопрос, для таких проблем, как проблема континуума, проблема измеримости и ряд других проблем в дескриптивной теории множеств.
Лит.: Гедель К. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 1; Новиков П. С. О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств // Труды математического института Академии Наук СССР. 1951. Т. 38; Quine W. О. van. Set theory and its logic. Camb., 1963; Френкель А. А., БарХиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969; Справочная книга по математической логике. М., 1982. Ч. 2: Теория множеств.
К началу ХХ века стройное здание теории множеств стало давать трещины. Привычные рассуждения перестали казаться безупречными ввиду обнаружившихся противоречий – антиномий теории множеств. Это привело к пересмотру основных концепций теории – содержания самого понятия множества, принципов формирования множеств и т.д. Попытки разрешить противоречия стимулировали развитие аксиоматической теории множеств. Приведём примеры теоретико-множественных антиномий.
Антиномия Рассела
.
Если– некоторое множество, то, как правило,
т.е.
не содержит себя в качестве элемента.
Однако если, скажем,
– множество всех множеств, то
Обозначим через
совокупность всех таких множеств
что
Содержит ли множество
себя в качестве элемента? Если
то для множества
условие
не соблюдается; значит,
Если же
то
удовлетворяет условию
значит,
Итак, оба предположения,
и
приводят к противоречию.
В качестве одного
из путей разрешения этого парадокса
было предложено не считать способ
формирования множества
корректным. Такая точка зрения серьёзно
отличалась от представлений “наивной”
теории множеств, где считалось, что
всякое чётко определённое правило
позволяет сформировать множество.
Вопрос о том, какие правила следует
считать чётко определёнными, а какие
нет, является трудным и не имеет к
настоящему времени удовлетворительного
ответа. Кроме того, следует, по-видимому,
запретить множества
удовлетворяющие соотношениям вида
и т.д., а также убывающие цепочки вида
Антиномия “деревенский парикмахер” является вариантом парадокса Рассела. Предположим, что в некоторой деревне поселился парикмахер, который решилбрить всех, кто не бреется сам. Должен ли он брить самого себя? Если да, то значит, он не бреется сам, поэтому он себя не бреет – противоречие. Если нет, то он сам не бреется, поэтому он должен себя брить, и мы опять получаем противоречие.
В этом парадоксе условие “брить всех, кто не бреется сам” является противоречивым, а потому невыполнимым. Природу этой внутренней противоречивости нельзя считать выясненной до конца. Ещё менее ясным кажется ответ на вопрос, какие условия являются противоречивыми, а какие нет.
Антиномия Кантора
.
Пусть
– множество всех множеств, а
– множество всех его подмножеств. Так
как
содержит все множества, то
поэтому
Однако по теореме Кантора
– противоречие.
В отличие от предыдущих антиномий, в которых участвовали лишь самые простейшие понятия теории множеств, в антиномии Кантора присутствуют более сложные понятия: множество всех подмножеств, отображение, взаимно однозначное соответствие. Этого парадокса можно избежать, если запретить использование “множества всех множеств”. В тех аксиоматических системах, где допускается класс всех множеств , теорема Кантора доказывается в более слабой форме.
Примером логического парадокса является парадокс лжеца.
Антиномия Эвбулида (илипарадокс лжеца ). Предположим, что некоторый субъект произносит фразу:“высказывание, которое я сейчас произношу, ложно” . Истинно это высказывание или ложно? Если оно истинно, то субъект сказал правду, а значит, это высказывание ложно. Если же оно ложно, то аналогичные рассуждения показывают, что оно истинно.
Один из путей выхода из создавшегося положения – признать, что не про всякое суждение можно сказать, истинно оно или ложно.
Преодолеть теоретико-множественные антиномии можно созданием строгой аксиоматической теории. Вопрос о непротиворечивости создаваемой аксиоматической теории, за редким исключением, является трудным и достаточно тонким (исключение, например, составляет исчисление высказываний, для которого вопрос о непротиворечивости был решён в предыдущей главе сравнительно просто). До сих пор в аксиоматике теории множеств Цермело – Френкеля, излагаемой ниже, противоречий обнаружено не было. Однако это обстоятельство лишь придаёт нам уверенность в непротиворечивости теории, но не служит доказательством непротиворечивости. Часто непротиворечивость какой-либо теории выводят из непротиворечивости другой теории, вызывающей меньшее сомнение. Например, непротиворечивость геометрии Лобачевского (утверждающей, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную) может быть доказана, если принять в качестве факта непротиворечивость евклидовой геометрии. Аналогичным образом из непротиворечивости теории множеств можно вывести непротиворечивость теории действительных чисел.
Аксиоматика теории множеств
Аксиомы ZFC включают в себя:
0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),
1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),
2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,
3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).
0. Критерий равенства множеств в ZFC
Следующее высказывание выражает необходимое условие идентичности двух множеств.
Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)
Примечание
«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда первое множество идентично второму [множеству].»
Достаточное условие идентичности двух множеств имеет вид и выводится из аксиом предиката , а именно:
, , где - любое математически корректное суждение об , а - то же самое суждение, но об .Соединение указанного достаточного условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:
1. Аксиомы ZFC о существовании множеств
«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.
Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.
Примечание
«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»
Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя. Употребительны два имени: и . Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:
и , гдеПримечание
«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из .»
Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» ().
2. Аксиомы ZFC об образовании множеств
Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая и по меньшей мере одну ].
Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания , которое выводится из аксиом предиката .
Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:
2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,
2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,
2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.
2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов
Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката .
, что естьПримечание
«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество , каждый элемент которого идентичен данному множеству или данному множеству ».
Примеры
Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:
илиСледующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.
Известно, что каждое множество имеет подмножества , включая [копию пустого множества] и [копию самого множества] . Иначе говоря,
.Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару . Назовём эту пару семейством .
Если можно образовать семейство из двух подмножеств множества , тогда можно объявить об образовании семейства из всех подмножеств множества .
Чтобы объявить об образовании семейства достаточно потребовать, чтобы каждый элемент названного семейства был подмножеством множества , а каждое подмножество названного множества было элементом семейства . Иначе говоря, , что равносильно предложению , , .Если можно объявить об учреждении семейства , тогда можно объявить об упразднении названного семейства.
Мыслимы различные способы упразднения семейства , включая: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть , что равносильно , 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть , что равносильно , 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть , что равносильно . Поскольку , постольку предложение равносильно предложению , которое подразумевает предложение , которое является частным случаем высказывания .
Из изложенного следует, что высказывания и можно считать независимыми условно.
2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана)
, что есть , гдеПримечание
«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество , каждый элемент которого является [собственным либо несобственным] подмножеством данного множества .»
Примеры , так как
Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] » или «булеан [множества] ». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:
или , что естьПримечание
Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество , каждый элемент которого принадлежит по меньшей мере одному множеству данного семейства ».
Примеры
Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «объединение множеств семейства ». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:
или .Объединение множеств семейства () не следует путать с пересечением множеств семейства (), о котором известно:
, то есть2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений
Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:
а) аксиому связи между алгебраической операцией (сложить) и алгебраической операцией (умножить)
,б) аксиому связи между отношением порядка (меньше или равно) и алгебраической операцией (сложить)
Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством ) и математически корректными суждениями (например, суждением ).
«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.
, что есть , где - любое математически корректное суждение о , но не о множестве и не о множестве .Примечание
Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество , высказав суждение о каждом элементе данного множества .»
Примеры
Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию . Поэтому единственному подмножеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему выделения записывют так:
илиСхема выделения равносильна счётному множеству аксиом.
, что естьПримечание
Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество , высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение обо всех элементах данного множества .»
Примеры
Доказывается, что в схеме преобразования множество единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:
илиСхема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.
3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств
Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из и каждой с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют «сортировочный цех» теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют «производственный цех» этой теории.
Примечание
«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество , каждый элемент которого не принадлежит данному семейству .»
Примеры Сравните с высказываниями и , а также . Сравните с высказываниями и . Сравните с высказываниями и .
Примечание
«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество , в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства .»
Пример Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно: , , . Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, нуля) от множества и одного «делегата» (например, единицы) от множества . Действительно: . .
1. Если ZFC непротиворечива, то ее непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя.
